admiral_hood (admiral_hood) wrote in otrageniya,
admiral_hood
admiral_hood
otrageniya

Category:

А позанимаюсь-ка я немного пифагорейством

Давно занимает мировую общественность злободневный вопрос — отчего нот семь, а клавиш на фортепиано (в пределах октавы) — 12. Внесу свой посильный вклад в разрешение этой загадки.



Очевидно, что ноты из бесконечного спектра акустических колебаний, которые мы избираем для передачи музыки, должны как-то гармонировать между собой, быть созвучны, исключать явные диссонансы.

Самые созвучные ноты — это те, частоты которых отличаются ровно в 2 раза. Причина этого очевидна. Любые колебания, в том числе колебания струн музыкальных инструментов, обладают некоторой нелинейностью, вследствие чего кроме основной частоты f генерируется целая линейка кратных гармоник, из которых самыми значимыми являются гармоники f и 2f — основной тон и первая гармоника. Звуки таких двух частот субъективно настолько созвучны для человека, что их обозначают одной и той же нотой, а звукоряд естественным образом разбивается на частотные диапазоны, в которых частоты соответственных нот различаются в 2, 4, 8, 16 и т. д. раз. Эти диапазоны, как вы знаете, называются октавами. В каждой октаве в стандартном европейском звукоряде есть 12 нот, из которых только семь имеют индивидуальные названия: до, ре, ми, фа, соль, ля, си.

Следующими по степени созвучности являются гармоники 2f и 3f, частоты которых различаются в 1,5 раза. Эти звуки уже не воспринимаются человеческим слухом как одна нота, тем не менее, из всех разноимённых нот они обладают наилучшим консонансом. Так что вполне логично, чтобы звукоряд был построен на основе таких полуторных звуковых интервалов, которые в музыке называют «чистыми квинтами».

Строим звукоряд примерно так. Берём какую-то базовую, первоначальную частоту, которую за безразличностью её конкретной величины будем обозначать единицей. Далее построим геометрическую прогрессию частот с отношением 1,5 (столбец 2 следующей ниже таблицы). Для каждой полученной частоты найдём частоту относительно начала октавы, для этого разделим частоту на степень двойки (столбец 3) так, чтобы полученный результат лежал в интервале 1…2 (столбец 4). Получим некоторый набор частот, который нам пока что ни о чём не говорит.



Отсортируем полученные частоты по возрастанию и найдём интервалы в этом ряду, то есть отношение каждой частоты к следующей за неё. Тут нас ждёт неожиданность: интервалов оказывается всего два — 1,053498 и 1,067871. Причём первый встречается 7 раз, что наводит на определённые подозрения.



Предположим, что «именные» ноты в построенном звукоряде отстоят от предыдущей ноты на интервал 1,053498, а «диезы и бемоли» — на 1,067871 и построим следующую табличку:



В столбце 4 показаны частоты нот относительно ноты «до» для ряда, построенного на основе «чистых квинт». Видно, что эти частоты подозрительно точно совпадают с простыми дробями. А отношение двух частот, выражаемое отношением небольших натуральных чисел весьма способствует хорошему созвучию этих нот.

В столбце 6 показан равномерно темперированный звукоряд, характерный тем, что любые две соседние ноты отстоят друг от друга на один и тот же интервал, равный корню 12-й степени из двойки. В столбце 7 показано отличие в процентах между звукорядом чистых квинт и равномерно темперированным. Как видите, максимальное расхождение составляет чуть более 1%.

Из всех вышеприведённых пифагорейских изысканий следует два таких же пифагорейских вывода:

1) Именными являются 7 нот из 12 потому что 27 ≈ 1,512 :~)

2) Равномерно темперированный звукоряд применяется просто потому, что он является хорошим приближением к ряду чистых квинт, а разницу интервалов в 1% человеческое ухо практически не воспринимает. Взамен это даёт преимущество инвариантности выбора любой ноты в качестве начала звукоряда.

Добавления по мотивам комментариев:

Если проследить исторически, как в октаве получилось 12 звуков, то дело было примерно так.

В старинной народной музыке исполнители и сочинители чисто интуитивно использовали наиболее гармоничные сочетания звуков, то есть звуки, частоты которых соотносились как небольшие натуральные числа. Иными словами, старались использовать звуки, которые являются близкими гармониками одного и того же основного звука. Например, если мы возьмём ноту «до» за единицу, то «соль» имела частоту 3/2, «фа» — 4/3, «ми» — 5/4, «ля» — 5/3, «ре» — 9/8, «си» — 17/9. Тут выяснилась вот какая штука. Отношение частот соседних нот получилось примерно одинаковым:

ре/до = 9/8 = 1,125;
ми/ре = 10/9 = 1,111;
соль/фа = 9/8 = 1,125;
ля/соль = 10/9 = 1,111;
си/ля = 17/15 = 1,133,

но было два исключения:
фа/ми = 16/15 = 1,067 и
до/си = 18/17 = 1,059.

То есть интервалы фа/ми и до/си примерно вдвое меньше, чем все остальные интервалы между соседними нотами (вдвое меньше, естественно, по логарифмической шкале, а по линейной шкале короткие интервалы примерно равны квадратному корню из длинных).

Когда математизация пришла в теорию музыки, короткие интервалы стали считать элементарными (их назвали «полутон»), а длинные интервалы считали сдвоенными короткими (два полутона = «тон»). Естественно, возникло представление, что посередине длинных интервалов есть ещё дополнительные ноты, которым не стали присваивать отдельные названия, а стали обозначать диезами (#, на полтона выше) и бемолями (b, на полтона ниже) по отношению к «именным» нотам. Итого получилось 12 нот в одной октаве, из них 7 именных.

Трудность была в том, что интервалы между нотами в таком естественном звукоряде всё-таки немного (на десятые доли процента) отличались друг от друга, поэтому в конце концов октаву разбили на 12 равных интервалов по 1,059463, а названия нот и их примерная частотная локализация остались прежними. При этом, естественно, отношения частот перестали быть простыми дробями, и среди теоретиков была серьёзная заруба по вопросу, не погубит ли это гармонию музыкального ряда. Кончилось тем, что Бах написал цикл из 48 произведений под названием «Хорошо темперированный клавир», где использовал все возможные тональности равномерного ряда, и тем самым вопрос закрыл.
Subscribe
promo otrageniya апрель 14, 06:25 62
Buy for 40 tokens
Привет всем участникам Отражений и нашим гостям! С настоящего момента вступают в силу изменения в правила, поэтому прошу авторов ознакомиться с нижеследующим. 1. Каждый участник может опубликовать один пост в день. Чтобы иметь возможность публиковать до трех тем в день, участник должен соблюсти…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 31 comments