Сам я когда-то, будучи ботаном-девятиклассником, лелеявшим честолюбивые мечты одарить человечество «законом Ома для человеческой толпы», неожиданно наткнулся в журнале «Юность» на повесть о талантливой девушке-физике, предававшейся на досуге аналогичным размышлениям.
Через несколько лет в журнале «Химия и жизнь» я увидел многообещающую статью «Гидродинамика толпы», где в качестве эпиграфа было записано уравнение Бернулли. Впрочем, уравнение Бернулли было помянуто всуе, а аналогия не проводилась далее примитивного отождествления человека с молекулой жидкости.
К сожалению, с людьми всё гораздо сложнее, чем с маленькими упругими электронами и молекулами. Электроны в проводнике напоминают небольшую группу бедуинов, равномерно распределённую по пустыне Сахара и неторопливо дрейфующих в одну и ту же сторону. Они крошечны по сравнению с окружающим их пространством. Люди же очень большие, они кричат, расталкивают друг друга локтями, загораживают проход и хотят обязательно быть первыми.
Немаловажно, что на больших массах людей достаточно сложно ставить эксперименты в домашних условиях, поэтому численная проверка моделей затруднительна, а опыты с электричеством и водопроводом мало помогают делу ввиду зыбкости аналогий.
Время шло, вместо школьных задачек возникали более взрослые и суровые проблемы, и вот, дожив до первых седых волос, я так и не узнал, существуют ли законы, описывающие рабочих завода «Эра», ломанувшихся к автобусной остановке в конце рабочего дня.
Неожиданный ответ на давно мучивший меня вопрос я получил — где бы вы думали? — в суровом государственно-бюрократическом документе под названием ГОСТ 12.1.004-91.
Стандарт посвящён весьма богоугодной теме — обеспечению эффективной эвакуации людей из помещения в случае пожара. Понятно, что для эвакуации людей необходимо обеспечить помещение эвакуационными проходами достаточной пропускной способности, а пропускная способность очевидным образом зависит от ширины прохода, наличия на пути различных препятствий, способствующих возникновению «заторов», а также от плотности самой толпы.
Пути эвакуации делятся на отдельные участки (проходы, коридоры, дверные проёмы), которые могут сходиться и расходиться, напоминая разветвлённую электрическую цепь.
Для описания движущихся объектов вводится понятие плотности толпы D, которая является безразмерной величиной и показывает, какую долю площади пола занимают горизонтальные проекции идущих/бегущих людей.
где N — число людей на участке; f — средняя площадь горизонтальной проекции человека: l и b — длина и ширина участка.
Понятно, что величина D может находиться в пределах от 0 до 1. Для f предлагаются следующие значения: взрослый — 0,1; взрослый в зимней одежде — 0,125; подросток — 0,07 кв. м.
Поток характеризуется двумя величинами:
1. Скоростью движения v (м/мин);
2. Интенсивностью движения q (м/мин).
Физический смысл последней величины звучит антигуманно и вызывает неприятные ассоциации со скотобойней. Попробую сформулировать.
Интенсивность движения — это суммарная площадь поперечных сечений людей, проходящих за минуту по дорожке шириной 1 м :~).
Например, если при ширине коридора 3 м по нему за минуту проходит 300 взрослых в лёгкой одежде, то интенсивность движения (300х0,1)/3 = 10 м/мин. Понятно, что этот параметр аналогичен плотности электрического тока, но поскольку люди могут двигаться только по поверхности пола, вместо площади поперечного сечения коридора берётся его ширина.
Описанные выше величины связаны между собой простым соотношением
Скорость нужна для вычисления времени эвакуации и с точки зрения гидродинамики и электротехники не представляют особенного интереса. Действительно, какая нам разница, с какой скоростью движутся электроны по электрическому проводу (для любопытных сообщаю — порядка нескольких сантиметров в секунду), важно только, какое их количество проходит за секунду через поперечное сечение проводника.
С помощью интенсивности вводится «условие неразрывности потока». Если один участок пути переходит в другой, или на перекрёстке сходятся несколько участков, то интенсивность движения в выходящем участке будет равна
где qi — интенсивность потоков во входящих участках, bi и b — ширина входящих и выходящего участков соответственно.
В общем, похоже на первый закон Кирхгофа — сколько вошло, столько и вышло. Точно так же условие неразрывности мы бы определили для гидродинамических потоков, но вместо ширины коридора взяли бы, опять-таки, площадь сечения.
Для человеческой толпы, однако, условие неразрывности не абсолютно. Интенсивность потока не может превышать некоторой предельной величины qmax, равной 16,5 для горизонтального пути; 19,6 для дверного проёма; 16,6 для лестницы вниз и 11 для лестницы вверх. Поэтому, если вычисленная по формуле интенсивность превышает максимальную, её ограничивают этим максимальным значением.
И вот тут нам хотелось бы, конечно, увидеть некоторый аналог закона Ома. Ну, то есть зависимость интенсивности потока от побудительных мотивов к движению. Для электрического тока побудительным мотивом является разность потенциалов, для потока жидкости — разность давлений. А что же будет побудительным мотивом для движения толпы? Будет ли толпа бежать с одинаковой скоростью во время учебной тревоги, при реальном пожаре или преследуемая убежавшими из зоопарка голодными тиграми?
Нас ждёт разочарование: ГОСТ не учитывает никаких побудительных мотивов. Предполагается, что толпа, не подгоняемая сзади напором человеческой массы, всегда движется с одинаковой интенсивностью, зависящей только от плотности толпы. Если же напор человеческих масс имеется, интенсивность движения определяется условием неразрывности.
Так что, увы, закона Ома для толпы не существует. А зависимость интенсивности потока от его плотности, как и зависимость скорости движения от плотности и интенсивности, даётся следующей табличкой.
Графически эти зависимости показаны на рисунках.
Зависимость интенсивности потока от плотности толпы
Зависимость скорости потока от интенсивности
Очевидно, что ГОСТ предполагает эвакуацию быстрым шагом — до 100 м/мин (1,67 м/с) для горизонтального пути и лестницы вниз и до 1 м/с по лестнице вверх.
По первому графику видно, что для малых плотностей толпы (до 0,05) интенсивность потока возрастает линейно, при D = 0,1 отклонение от линейности уже заметны. Это значит, что пока толпа достаточно разрежена (D < 0,1), средняя скорость движения остаётся примерно постоянной и не зависит от плотности толпы. Начиная с D = 0,1 люди начинают мешают друг другу, средняя скорость падает. Тем не менее, при увеличении плотности толпы до 0,5 (для лестницы вверх — до 0,3) интенсивность потока растёт и достигает максимума. Скорость потока при этом падает втрое. Далее интенсивность снижается, поскольку начинают возникать заторы. ГОСТ рекомендует не доводить до этого, нужным образом расширяя проходы.
Забавно также, что бег по лестнице вниз практически не имеет преимущества перед горизонтальным путём. Только при плотности 0,05…0,35 он несколько лучше. А при плотности толпы 0,75 и выше подъём по лестнице вверх даёт лучшую интенсивность, чем спуск вниз. По всей видимости, есть страх навернуться на головы бегущих впереди товарищей.
Community Info